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ANNO SCOLASTICO 2006/2007

GRUPPO DI LAVORO AMODEO DARIO, SCARAMOZZINO GIUSEPPE E ZAMINGA SAMUELE DI 3 $\U{b0}$ H E TRAPANI DOMENICO DI 3 $\U{b0}$ G

- EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA;

- PROBLEMI SULLA CIRCONFERENZA;

La circonferenza,la parabola,l'ellisse e l'iperbole sono dette coniche poiché si possono ricavare dall'intersezione di un piano con due coni posti come una clessidra.

-CIRCONFERENZA

La circonferenza è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro ed è la sezione orizzontale di una clessidra.

Coniderando:

PC=r Il segmento PC è il raggio della circonferenza.

Eguagliamo la formula per calcolare il raggio,ossida la distanza $\bigskip$ del centro C dal punto P ed il raggio

Eleviamo entrambi i termini al quadrato e svolgiamo i quadrati interni alla radice ed abbiamo:

Ponendo:

Abbiamo che:

EQUAZIONE GENERALE DI UNA CIRCONFERENZA

Sapendo l'equazione di una circonferenza possiamo calcolare le coordinate del centro C tramite formule inverse.

ESEMPIO:

Se abbiamo un'equazione del tipo possiamo sapere che il centro C ha coordinate

C(-2;3)

_ E che il raggio è

r = $\sqrt{5}$ .

Queste sono le condizioni affinché un'equazione di 2° grado sia un'equazione di una circonferenza:

1. I due termini di secondo grado devono avere lo stesso coefficiente.

2. Manca il termine in xy.

3. La quantità α²+β²-c non deve essere negativa.

Invece queste sono le caratteristiche generali:

* Se manca il termine ax,il centro si trova sull'asse delle y;

* Se manca il termine by,il centro si trova sull'asse delle x;

* Se manca il termine c,la circonferenza passa per l'origine O;

* Se mancano i termini ax e by,il centro si trova sull'origine;

* Se mancano i termini ax e c,la circonferenza passa per l'origine O e ha il centro sull'asse y ed è tangente all'asse x;

* Se mancano i termini bx e c,la circonferenza passa per l'origine O e ha il centro sull'asse x ed è tangente all'asse y.

-Una circonferenza di equazione x²+y²=1 è detta goniometrica poiché ha il centro in O ed ha il raggio uguale a 1.

- PROBLEMI SULLA CIRCONFERENZA

$\Theta$ Come trovare l'equazione della circonferenza passante per tre punti assegnati

Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza.

Date le coordinate di tre punti vogliamo risalire all'equazione della circonferenza (naturalmente il problema si puo anche risolvere geometricamente) Per semplicita' risolviamo il problema su un esempio pratico

Trovare l'equazione della circonferenza passante per i punti

swscan00026鑵.jpg

A(1;3) B(6;1) C(5;4)

Prendo l'equazione generica della circonferenza

* Prima condizione: passaggio per A=(1,3)

Sostituisco le coordinate nell'equazione della circonferenza

* Seconda condizione: passaggio per B=(6,1)

Sostituisco le coordinate nell'equazione della circonferenza

* Terza condizione: passaggio per C=(5,4)

Sostituisco le coordinate nell'equazione della circonferenza

Le tre condizioni devono valere contemporaneamente; faccio il sistema

MATH

troviamo i valori di a di b e di c:

MATH

sostituiamo a e avremo:

$\$

MATH

sviluppiamo i calcoli:

MATH

sostituiamo b e avremo:

MATH

sostituiamo i valore di c così da trovare b e a:

MATH

$\bigskip$

MATH

avendo i valori di a b e c posiamo scrivere l' aequazione della circonferenza che passa da quei punti che sarà:

$\Theta$ Come scrivere l'equazione della circonferenza di centro il punto C(2, -3) e passante per il punto P =(-1,1).

Risoluzione

In questo caso il raggio non è dato direttamente, ma si calcola immediatamente come distanza tra due punti.

L'equazione della circonferenza si ottiene sostituendo nella generica equazione le coordinate del centro ed il valore di r e sviluppando i calcoli:

Dato che non sappiamo che:

possiamo determinare subito a b e c dell' equazione della circonferenza quindi:

Allora l' equazione della circonfeenza sarà :

Come determinare l' equazione della circonferenza noti due punti A B appartenenti alla circonferenza e l'equazione della retta r che contiene il centro

per prima cosa bisogna determinare l' equazione della corda ab mediante il calcolo dell' equazione generale di un retta:

sviluppando i calcoli bisognerà pervenire all equazione in forma implicdita della quale si determineranno le coordinate del punto medio M

$\bigskip$

si trova la perpendicolare alla corda ab condotta dal punto medio m l'asse dell corda ab

$y=-\frac{1}{m}x+k$

dove m è il coefficente angolare dell' equazione della corda e K è il termine noto che si detemina sostituendo a x e a y rispettivamente l' ascissa e l' ordinata del punto medio m

a questo punto si dovrà mettere a sistema l' equzione dell' asse di ab con la retta r al fine di determinare le coordinate del centro

MATH

note le coordinate del centro si troveranno a, b, c, termini dell equazione della circonferenza che si ricavno dai passagg della dimostrazione dell' equainone della circonferenza

$a=-2\alpha$

$b=-2\beta$

si potrà scrivere di conseguenza l' equazione della circonferenza pasante per i punti A B .